Article : géométrie spectrale

Géométrie spectrale d’une métrique G₂ explicite sur une 7-variété compacte

Brieuc de La Fournière (2026) Texte intégral (markdown) | DOI Zenodo : 10.5281/zenodo.19893371

Résumé

Premier calcul numérique explicite du spectre de Kaluza-Klein sur une variété G₂ compacte. La décomposition adiabatique K₇ ≈ K3 × T² × I réduit les EDP 7D à des EDO de Sturm-Liouville 1D. Tous les nombres de Betti confirmés spectralement : b₀=1, b₁=0, b₂=21, b₃=77. Écart SD/ASD dans la matrice d’intersection K3 : 2210×.

Résultats clés

Spectre scalaire

Quantité Valeur
Mode zéro λ₀ 3,47×10⁻¹³ (zéro machine)
Spectral gap λ₁ 0,1244 ± 0,0001
Loi de Weyl λₙ = 0,125n², α = 1,998 (exact : 2,0)

Confirmation des nombres de Betti

Betti Spectral Rapport de gap
b₀ = 1 1 mode zéro  
b₁ = 0 aucune 1-forme zéro  
b₂ = 21 21 valeurs propres proches de zéro 14 635×
b₃ = 77 77 valeurs propres proches de zéro  

Hiérarchie des masses (depuis le gap SD/ASD)

Rapport Spectral Exp. Écart
m₁/m₂ (τ/μ) 16,5 16,82 1,9 %
m₁/m₃ (τ/e) 3400 3477 2,2 %
Gap SD/ASD 2210× (|)  

Validation adiabatique (5 tests)

Test Résultat
Platitude des fibres < 0,002 % de variation max en s
Erreur d’additivité 0,003 à 0,023 %
Exposant de la loi de Weyl α = 1,998 (exact : 2,0)
Isotropie T² |g^θθ − g^ψψ| = 3×10⁻⁷
Rondeur K3 étalement < 0,1 %

Tour KK

Structure des sections

  1. Introduction : contexte, validation de l’ansatz adiabatique
  2. La métrique : résumé Chebyshev-Cholesky, certification
  3. Laplacien scalaire : spectral gap, loi de Weyl, tour KK
  4. Laplacien de Hodge sur les 2-formes, confirmation b₂=21, structure SD/ASD
  5. Formes harmoniques et nombres de Betti : formes K3, assemblage K₇, b₃=77
  6. Laplacien de Hodge sur les 1-formes : démocratie spectrale à 10⁻⁴, b₁=0
  7. Limites singulières : modèle de singularité ADE, stabilité spectrale
  8. Discussion : G₂-MSSM, F-théorie, paysage des cordes
  9. Conclusion

Figures

  1. Profils de la métrique : transition du col et décroissance ACyl
  2. Escalier des valeurs propres scalaires (loi de Weyl)
  3. Cinq premières fonctions propres scalaires
  4. Spectres des canaux T² (additivité adiabatique)
  5. Spectre des 2-formes avec gap de 14 635×

Liens connexes